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12 de novembro de 2020
5 de novembro de 2014
Paralelismo entre Planos + Distância a plano
- O Plano a contém os pontos A(7;2;4), B(4;6;2) e C(2;4;7)
- Represente pelos seus traços nos planos de projeção, um plano b que contém o ponto M(-6;2;3) e é paralelo ao plano a
- Determine a verdadeira grandeza da distância entre os planos a e b anteriormente representados.
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João Paulo Araújo
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Assuntos:
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
2 Questão 2,
2.1 Figuras planas-rebatimentos,
Teste GDA II - 1.1
Triângulo num Plano não projetante + Perpendicularidade
Adaptado do Exame de 2011
- 1ª fase (Código 708) item 3
Oriente a folha A4 em posição “retrato”
Oriente a folha A4 em posição “retrato”
- Represente pelas suas projeções um triângulo Equilátero [ABC], situado no plano oblíquo a,O plano a é perpendicular ao plano bissetor dos diedros impares b13 , contém o ponto A(1;3;0) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º ad com o eixo do x.O centro do triângulo equilátero situa-se na reta p que contém o ponto P(3;10;9) e é perpendicular ao plano a.
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João Paulo Araújo
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Assuntos:
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
2 Questão 2,
2.1 Figuras planas-rebatimentos,
Teste GDA II - 1.1
Paralelismo Reta / Plano - Elementar
- Represente a reta r que contém o ponto R(4;3;5) e é paralela ao plano de rampa aO plano a contém o ponto A(-6;4;2) e o seu traço frontal tem 8 de cota.A projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 55º ad com o eixo das abcissas.
No fim de semana será publicada a resolução.
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João Paulo Araújo
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Assuntos:
- Exercícios Resolvidos,
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
Teste GDA II - 1.1
5 de novembro de 2012
GDA II - Teste 1.1
- o plano a contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
- o plano b contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)
2. Determine a
verdadeira grandeza da distância entre a reta “r” e o plano a,
A recta “r” é paralela ao pano a , contém o ponto R (-3; 3; 2) e a sua projecção frontal faz 45º ad com o eixo dos X.
A recta “r” é paralela ao pano a , contém o ponto R (-3; 3; 2) e a sua projecção frontal faz 45º ad com o eixo dos X.
O
plano a contém o ponto do eixo dos X com 11
de abcissa. O
seu traço horizontal faz 60º ad com o eixo dos X e o seu traço frontal faz 30º
ad com o mesmo eixo.
(deve representar todos os
dados, nomeadamente as projeções da reta r e os traços do plano a )
Os traços horizontal e frontal do plano qfazem, respetivamente com o eixo x, ângulos de 60º e 45º, ambos com abertura para a direita e intersectam-se na origem das coordenadas.
O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
O vértice B tem 6 de afastamento e 2 de cota.
O vértice C tem 2 de afastamento e 6 de cota
O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
O vértice B tem 6 de afastamento e 2 de cota.
O vértice C tem 2 de afastamento e 6 de cota
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João Paulo Araújo
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1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
2.1 Figuras planas-rebatimentos,
2.2 Problemas métricos,
2.3 Rebatimento plano oblíquo,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
6 de novembro de 2011
Teste GDA II - 1.1 - 11.º 12
1. Represente o ponto “I” de intersecção da reta r com o plano a
O plano a é definido pela sua reta de maior declive d que contém os pontos C(-10;1;5) e D(-7;7;2)
A reta r contém o ponto R (0;2;4) e é paralela ao plano q e ao bissetor dos diedros ímpares b13
O plano q contém o ponto Q (10;4;2) e os seus traços, horizontal e frontal, fazem respetivamente ângulos de 55º e 35º, ambos com abertura à esquerda.
2. Determine a verdadeira grandeza da distância entre o ponto P(3;6;9) e o plano a,
O plano a contém o ponto A(-3;3;3), é perpendicular ao bissetor dos diedros impares b13 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º ad com o eixo “x”
3. Represente as projeções de um cubo situado no 1.º diedro com a face [ABCD] contida no plano oblíquo q. (foi alterado para apenas o quadrado da face)
Os traços horizontal e frontal do plano q fazem, respetivamente com o eixo x, ângulos de 60º e 45º, ambos com abertura para a direita e intersectam-se na origem das coordenadas.
O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
O vértice B tem cota nula e 6 de afastamento.
O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
O vértice B tem cota nula e 6 de afastamento.
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João Paulo Araújo
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Assuntos:
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
2 Questão 2,
2.1 Figuras planas-rebatimentos,
2.2 Problemas métricos,
2.3 Rebatimento plano oblíquo,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
2 de novembro de 2011
Teste GDA II - 1.1 - 11.º 13
1. Represente a reta “i” de intersecção do plano a com o plano bissetor dos diedros pares b24.
O plano a contém o ponto A(2;5;2) e é paralelo ao plano q.
O plano q é definido pela sua reta de maior declive d que contém os pontos C(-10;1;4) e D(-7;7;2)
2. Determine a verdadeira grandeza da distância entre a reta “r” e o plano a,
O plano a contém o ponto A(-3;3;3) es os seus traços, horizontal e frontal, fazem respetivamente ângulos de 45º ad e 30º ad
A reta “r” contém o ponto R(4;8;8), é paralela ao plano a e ao plano bissetor dos diedros ímpares b13
(deve representar todos os dados, nomeadamente as projeções da reta r e os traços do plano a)
3. Desenhe as projeções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo b.
Os traços horizontal e frontal do plano b fazem, respetivamente com o eixo x, ângulos de 60º e 45º, ambos com abertura para a direita e intersectam-se na origem das coordenadas.
O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
O vértice B tem cota nula e 6 de afastamento.
O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
O vértice B tem cota nula e 6 de afastamento.
Resoluções de David Gonçalves
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João Paulo Araújo
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22:13
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1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
2 Questão 2,
2.1 Figuras planas-rebatimentos,
2.2 Problemas métricos,
2.3 Rebatimento plano oblíquo,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
29 de outubro de 2010
GDA II - Teste 1.1 - Questão 1 - Paralelismo e Perpendicularidade
Enunciado e Resolução em PDF
Questão 1 V1 Paralelismo e Perpendicularidade
25min
(resolução de Sara Baptista)
Determine os traços de um plano teta paralelo à recta “a” e perpendicular ao plano alfa
O plano teta contém o ponto Q(0;3;4)
A recta a contém o ponto A(6;2;3), a sua projecção horizontal faz 45º (ad) e a sua projecção frontal faz 30º (ad) com o eixo dos X
O plano alfa é perpendicular ao beta24, intersecta o eixo dos X no ponto de abcissa –6 e o seu traço horizontal faz, com este, 45º (ad)
Resolução:
Um Plano é paralelo a uma Recta quando contém uma recta paralela à dada.
Um Plano é perpendicular a outro plano quando contém uma recta que lhe é perpendicular.
Neste caso a aplicação é directa, colocaram-se duas rectas a passar no ponto Q, uma paralela à recta "a" e outra perpendicular ao plano alfa.
O plano definido pelas rectas encontradas é o plano pretendido.
Questão 1 V2 Perpendicularidade
25 min
(resolução de Bruno Barbosa)
Determine as projecções de um plano alfa que contém a recta r e é perpendicular ao plano beta.
A recta “r” contém os pontos R(3;2;7) e S(0;6;3)
O plano beta intersecta o eixo dos X no ponto de abcissa –5, é perpendicular ao beta13 e o seu traço horizontal faz 60º (ae) com o eixo dos “X”
Resolução:
Semelhante ao exercício anterior, apenas tivemos que colocar uma recta perpendicular ao plano alfa, passando num ponto da recta "r".
O plano pretendido fica então definido pelas duas rectas concorrentes.
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João Paulo Araújo
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20:51
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Assuntos:
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
GDA II,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
GDA II - Teste 1.1 - Questão 2 - Perpendicularidade
Questão 2 V1 Perpendicularidade
(equivalente a distância)
(resolução de David Gonçalves)
25 min
Determine as projecções da recta a que contém o ponto A(4;5;0) e é perpendicular à recta b
A recta b é de perfil, passante e contém o ponto B(-2;5;7)
Resolução:
Este exercício é basicamente semelhante a uma distância Ponto / Recta de Perfil.
Ambos os alunos optaram pelo rebatimento do plano de perfil para determinar a intersecção do plano de rampa que contém o ponto e é perpendicular à recta de perfil.
Como o plano (de rampa) obtido é, "na 3.ª projecção, como que um plano de topo" foi aí que determinaram também o ponto de intersecção da recta de perfil com esse plano que lhe é perpendicular.
Questão 2 V2 Perpendicularidade
(equivalente a distância)
(resolução de Bruno Barbosa)
25 min
Determine as projecções da recta a que contém o ponto A(4;0;5) e é perpendicular à recta b
A recta b é de perfil, passante e contém o ponto B(-2;7;5)
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João Paulo Araújo
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20:25
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Assuntos:
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
GDA II,
Preparação para Exame,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
GDA II - Teste 1.1 - Questão 3 - Distâncias
Questão 3 V1 Distâncias (resolução de David Gonçalves)
30 min
Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (4;5;6) e o plano alfa
O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(-7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ad) com o eixo dos “X”
Questão 3 V2 Distâncias (resolução de Bruno Barbosa)
30 min
Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (-4;5;6) e o plano alfa
O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ae) com o eixo dos “X”
Resolução:
Esta distância baseia-se nos mesmos princípios da questão 1 (perpendicularidade recta/plano)
Claro que quem quer raciocinar um pouco, olha à sua volta, procura um ponto e um plano (por exemplo o nariz do professor e a parede)
Claro que concluirá que a distância entre ambos se consegue com uma perpendicular à parede.
Então o processo é simples, passa uma recta pelo nariz do professor e procura o ponto onde essa recta "fura" a parede, ou seja a intersecção recta/plano.
Após isso basta rodar o segmento entre os pontos (nariz e furo na parede) de forma a colocar numa posição frontal ou horizontal, para que toda a turma veja a verdadeira grandeza.
30 min
Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (4;5;6) e o plano alfa
O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(-7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ad) com o eixo dos “X”
Questão 3 V2 Distâncias (resolução de Bruno Barbosa)
30 min
Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (-4;5;6) e o plano alfa
O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ae) com o eixo dos “X”
Resolução:
Esta distância baseia-se nos mesmos princípios da questão 1 (perpendicularidade recta/plano)
Claro que quem quer raciocinar um pouco, olha à sua volta, procura um ponto e um plano (por exemplo o nariz do professor e a parede)
Claro que concluirá que a distância entre ambos se consegue com uma perpendicular à parede.
Então o processo é simples, passa uma recta pelo nariz do professor e procura o ponto onde essa recta "fura" a parede, ou seja a intersecção recta/plano.
Após isso basta rodar o segmento entre os pontos (nariz e furo na parede) de forma a colocar numa posição frontal ou horizontal, para que toda a turma veja a verdadeira grandeza.
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João Paulo Araújo
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20:07
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Assuntos:
2 Questão 2,
2.2 Problemas métricos,
GDA II,
Teste GDA II - 1.1
14 de outubro de 2010
Paralelismo entre Rectas
Rectas paralelas apresentam-se sempre paralelas em todas as suas projecções.
Todas as rectas (não de perfil) que se apresentam paralelas entre si na projecção horizontal e na projecção frontal são espacialmente paralelas entre si.
As rectas de perfil, para garantirem o seu paralelismo, requerem uma 3.ª projecção ou um método que garanta que são complanares.
Neste primeiro exemplo à esquerda optamos por representar a 3.ª projecção.
Neste segundo exemplo optamos por colocar mais duas rectas concorrentes entre e com as rectas de perfil, garantindo assim que são complanares.
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João Paulo Araújo
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19:45
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Assuntos:
- Teoria -,
1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
GDA II,
Preparação para Exame,
Teste GDA II - 1.1
28 de outubro de 2008
GDA II - Teste 1.1
Prova GDA II 1.1
Resolução - (clique nos desenhos para aumentar)
Questão 1Determine as projecções da recta b paralela ao plano a e ao plano bissector dos diedros pares (b2,4).
· o plano a é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2).
· o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento.
· a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).
Questão 2
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano a.
· o plano oblíquo a é definido pelos pontos
· A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
· a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)
Questão 3
Determine graficamente a distância d do ponto P ao plano oblíquo a.
· o ponto P pertence ao plano b13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
· o plano a intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
os traços, horizontal e frontal, do plano a fazem, ambos, ângulos de 45º ad (de abertura para a direita) com o eixo x.
Questão 4
Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo b.
· os traços horizontal e frontal do plano b fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
· os traços do plano b intersectam-se na origem das coordenadas
· o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
· o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota
Temas a estudar para o Teste 1.1 GDA II. - Ligações
Exercícios D. Maria II
Paralelismo - Vera Viana
Perpendicularidade - Vera Viana
Distâncias - Vera Viana
Rebatimentos - Vera Viana
António Melo - Esc. Sec. Josefa de Óbidos - Necessita plugin
Elísio Silva - Diversos Exercícios
Resolução - (clique nos desenhos para aumentar)
Questão 1Determine as projecções da recta b paralela ao plano a e ao plano bissector dos diedros pares (b2,4).
· o plano a é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2).
· o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento.
· a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).
Questão 2
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano a.
· o plano oblíquo a é definido pelos pontos
· A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
· a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)
Questão 3
Determine graficamente a distância d do ponto P ao plano oblíquo a.
· o ponto P pertence ao plano b13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
· o plano a intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
os traços, horizontal e frontal, do plano a fazem, ambos, ângulos de 45º ad (de abertura para a direita) com o eixo x.
Questão 4
Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo b.
· os traços horizontal e frontal do plano b fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
· os traços do plano b intersectam-se na origem das coordenadas
· o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
· o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota
Temas a estudar para o Teste 1.1 GDA II. - Ligações
Exercícios D. Maria II
Paralelismo - Vera Viana
Perpendicularidade - Vera Viana
Distâncias - Vera Viana
Rebatimentos - Vera Viana
António Melo - Esc. Sec. Josefa de Óbidos - Necessita plugin
Elísio Silva - Diversos Exercícios
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João Paulo Araújo
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1 Questão 1,
1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
2 Questão 2,
2.1 Figuras planas-rebatimentos,
2.2 Problemas métricos,
2.3 Rebatimento plano oblíquo,
GDA II,
Teste GDA II - 1.1
GDA II - Perpendicularidade - Plano / Plano
Dois Planos são perpendiculares quando um deles contém uma recta perpendicular ao outro.
ou
Dois Planos são perpendiculares quando um deles é perpendicular a uma recta do outro.
ou
Dois Planos são perpendiculares quando um deles é perpendicular a uma recta do outro.
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João Paulo Araújo
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1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
GDA II,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
GDA II - Perpendicularidade - Recta / Plano
Uma recta é perpendicular a um plano quando é perpendicular a duas rectas (não paralelas) desse plano.
Um plano é perpendicular a uma recta quando contém duas rectas (não paralelas) perpendiculares a ela.
Um plano é perpendicular a uma recta quando contém duas rectas (não paralelas) perpendiculares a ela.
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João Paulo Araújo
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1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
Teste GDA II - 1.1
GDA II - Perpendicularidade - Recta / Recta
Recta / Recta (caso de uma ser horizontal ou frontal)
Uma recta Horizontal é perpendicular a uma outra qualquer quando se apresentam perpendiculares na projecção horizontal.
Uma recta Frontal é perpendicular a outra qualquer quando se apresentam perpendiculares na projecção frontal.
Recta / Recta (Caso universal)
Uma recta é perpendicular a outra quando uma delas está num plano perpendicular à outra.
(para desenvolveres estes casos necessitas de entender primeiro a perpendicularidade Recta / Plano)
Uma recta Horizontal é perpendicular a uma outra qualquer quando se apresentam perpendiculares na projecção horizontal.
Uma recta Frontal é perpendicular a outra qualquer quando se apresentam perpendiculares na projecção frontal.
Recta / Recta (Caso universal)
Uma recta é perpendicular a outra quando uma delas está num plano perpendicular à outra.
(para desenvolveres estes casos necessitas de entender primeiro a perpendicularidade Recta / Plano)
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João Paulo Araújo
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1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
GDA II,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
GDA II - Paralelismo
Rectas:Duas rectas são paralelas quando se apresentam paralelas em todas as projecções.
Recta / Plano:Uma recta é paralela a um plano quanto é paralela a uma recta desse plano.
Um plano é paralelo a uma recta quando contém uma recta que lhe é paralela.
Plano / Plano:
Dois planos são paralelos quando existem duas rectas de um paralelas a duas rectas do outro.
Quando os planos são definidos pelos seus traços podemos verificar rapidamente pois os traços do mesmo tipo de um são paralelos aos traços do memo tipo do outro ... afinal os traços são rectas ... não ?
Recta / Plano:Uma recta é paralela a um plano quanto é paralela a uma recta desse plano.
Um plano é paralelo a uma recta quando contém uma recta que lhe é paralela.
Plano / Plano:
Dois planos são paralelos quando existem duas rectas de um paralelas a duas rectas do outro.
Quando os planos são definidos pelos seus traços podemos verificar rapidamente pois os traços do mesmo tipo de um são paralelos aos traços do memo tipo do outro ... afinal os traços são rectas ... não ?
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João Paulo Araújo
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21:03
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1.4 Perpendicularidade e Paralelismo,
GDA II,
Teste GDA II - 1.1,
Testes Sumativos
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